В первый час открываем вторую дверь. Если кота там нет, значит, он за дверями 2, 3 или 4.

Во второй час кот может быть только за второй, третьей или четвертой дверью (за первой он оказаться не может, потому что попасть туда тожно только из-за второй двери, а за ней в прошлый раз никого не было).

Откроем третью дверь. Если кота нет и за третьей дверью, ему негде быть, кроме как за дверями №2 и №4.

На третий час кот может оказаться только за дверями №1 и №3. Откроем третью, и, не обнаружив кота, узнаем, что он за первой дверью, откуда он может прошмыгнуть только за вторую. Еще час — и кот пойман за второй дверью. Четыре часа — максимум для четырёх дверей.

Вот схема для пяти дверей: число часов равно шести.

По мере решения становися ясна универсальная схема: начинать всегда надо со второй двери, затем переходить к следующей и так до предпоследней, открыть ее дважды, а потом возвращаться. Порядок открытия семи дверей будет такой: 2,3,4,5,6,6,5,4,3,2 — и это десять часов. Вот вам и ответ.